常見導數公式

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常見導數公式:

① C'=0(C為常數函數);

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);

③ (sinx)' = cosx;

sx)' = - sinx;

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(secx)'=tanx·secx

cx)'=-cotx·cscx

④ (sinhx)'=hcoshx

(coshx)'=-hsinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

chx)'=-tanhx·sechx

chx)'=-cothx·cschx

⑤ (e^x)' = e^x;

(a^x)' = a^xlna (ln為自然對數)

(Inx)' = 1/x(ln為自然對數)

gax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)

另外就是復合函數的求導:

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

后面這些高中用不到,但是多掌握點遇到時就可以直接寫出來,不用再換算成常見函數來求解,

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)

(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)

(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

1、x→0,sin(x)/x →1

  2、x→0,(1 + x)^(1/x)→e

  x→∞ ,(1 + 1/x)^(1/x) → 1

(其中e≈2.7182818... 是一個無理數)

函數極限的運算法則

  設lim f(x) ,lim g(x)存在,且令lim f(x) =A, lim g(x)=B,則有以下運算法則,

線性運算 

  加減:

  lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B

  數乘:

  lim( c* f(x))= c * A (其中c是一個常數)

非線性運算

  乘除:

  lim( f(x) * g(x))= A * B

  lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中B≠0 )

  冪:

  lim( f(x) ) ^n = A ^ n 導數公式及證明

這里將列舉五類基本初等函數的導數以及它們的推導過程(初等函數可由之運算來):

1.y=c(c為常數) y'=0

  2冪函數.y=x^n, y'=nx^(n-1)??(n∈Q*) 熟記1/X的導數

  3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ;(2)熟記y=e^x y'=e^x??唯一一個導函數為本身的函數

  4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ;熟記y=lnx ,y'=1/x

  5.y=(sinx y)'=cosx

  6.y=(cosx y)'=-sinx

  7.y=(tanx y)'=1/(cosx)^2

  8.y=(cotx y)'=-1/(sinx)^2

  9.y=(arcsinx y)'=1/√1-x^2

  10.y=(arccos y)'=-1/√1-x^2

  11.y=(arctanx y)'=1/(1+x^2)

  12.y=(arccotx y)'=-1/(1+x^2)

  在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到:

  1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變量,而g'(x)中把x看作變量』

  2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

  3. 原函數與反函數導數關系(由三角函數導數推反三角函數的):y=f(x)的反函數是x=g(y),則有y'=1/x'

  證:1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的:y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

  2.這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況,只能證其為整數Q。主要應用導數定義與N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。

  3.y=a^x,

  Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

  Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

  如果直接令Δx→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^Δx-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道:Δx=loga(1+β)。

  所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  顯然,當Δx→0時,β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把這個結果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

  可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。

  4.y=logax

  Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

  Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

  因為當Δx→0時,Δx/x趨向于0而x/Δx趨向于∞,所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

  limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

  也可以進一步用換底公式

  limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

  可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x。

  這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

  5.y=sinx

  Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

  Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

  所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx

  6.類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx。

  7.y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  8.y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  10.y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx

  x=tany

  x'=1/cos^2y

  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

  12.y=arccotx

  x=coty

  x'=-1/sin^2y

  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

  另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與

  4.y=u土v,y'=u'土v'

  5.y=uv,y=u'v+uv'

  均能較快捷地求得結果。

  對于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法。

  y=x^n

  由指數函數定義可知,y>0

  等式兩邊取自然對數

  ln y=n*ln x

  等式兩邊對x求導,注意y是y對x的復合函數

  y' * (1/y)=n*(1/x)

  y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)

  冪函數同理可證

  導數說白了它其實就是曲線一點斜率,函數值的變化率

  上面說的分母趨于零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個數,如果分子趨于某一個數,而不是零的話,那么比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在.

  x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的比值是1,所以極限為1.

  建議先去搞懂什么是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸.

  并且要認識到導數是一個比值.三角函數公式:

現列出公式如下:

  sin2α=2sinαcosα

  tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  可別輕視這些字符,它們在數學學習中會起到重要作用。

三倍角公式

  sin3α=3sinα-4sin^3(α)

  cos3α=4cos^3(α)-3cosα

  tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)

半角公式

  sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

  cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

  tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

  tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

萬能公式

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

積化和差公式

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

其他

  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

① C'=0(C為常數函數);

  ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導數

  ③ (sinx)' = cosx;

  (cosx)' = - sinx;

  (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

  -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

  (secx)'=tanx·secx

  (cscx)'=-cotx·cscx

  (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

  (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

  (arctanx)'=1/(1+x^2)

  (arccotx)'=-1/(1+x^2)

  (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

  (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

  ④ (sinhx)'=hcoshx

  (coshx)'=-hsinhx

  (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

  (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

  (sechx)'=-tanhx·sechx

  (cschx)'=-cothx·cschx

  (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

  (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

  (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)

  (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)

  (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

  (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

  ⑤ (e^x)' = e^x;

  (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數)

  (Inx)' = 1/x(ln為自然對數)

  (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

  (1/x)'=-x^(-2)

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