初二奧數題實數練習

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三、練習

1.分解因式:①x4+x2y2+y4 ②x4+4 ③x4-23x2y2+y4

2. 分解因式: ①x3+4x2-9 ②x3-41x+30

③x3+5x2-18 ④x3-39x-70

3. 分解因式:①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3-3x2+3x+7

③x3-9ax2+27a2x-26a3 ④x3+6x2+11x+6

⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2

4. 分解因式:①3x3-7x+10 ②x3-11x2+31x-21

③x4-4x+3 ④2x3-5x2+1

5. 分解因式:①2x2-xy-3y2-6x+14y-8 ②(x2-3x-3)(x2+3x+4)-8

③(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-48 ④(2x-7)(2x+5)(x2-9)-91

6.分解因式: ①x2y2+1-x2-y2+4xy ②x2-y2+2x-4y-3

③x4+x2-2ax -a+1 ④(x+y)4+x4+y4

⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3)

7.己知:n是大于1的自然數 求證:4n2+1是合數

8.己知:f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5

且知f(x)是g(x)的因式,也是p(x)的因式

求:當x=1時,f(x)的值

練習題參考答案

1. 添項,配成完全平方式(仿例3) 2.拆中項,仿例1

3. 拆項,配成兩數和的立方

①原式=(x+y)3+y3……③原式=(x-3a)3+a3

⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3

4. 用因式定理,待定系數法,仿例5,6

④x=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png時,原式=0,有因式2x-1

5.看著是某代數式的二次三項式,仿例7

④原式=(2x-7)(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=……

6.分組配方

③原式=(x2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展開,合并,再分解

⑤以a=-b代入原式=0,故有因式a+b

7.可分解為兩個非1的正整數的積

8.提示g(x),p(x)的和,差,倍仍有f(x)的因式,

3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)與f(x)比較系數……,f(1)=4

一、內容提要

1.定義:如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式,并且余式是零,則稱這個整式被另一個整式整除。

2.根據被除式=除式×商式+余式,設f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式,

那么 式的整除的意義可以表示為:

若f(x)=p(x)×q(x), 則稱f(x)能被 p(x)和q(x)整除

例如∵x2-3x-4=(x-4)(x +1),

∴x2-3x-4能被(x-4)和(x +1)整除。

顯然當 x=4或x=-1時x2-3x-4=0,

3.一般地,若整式f(x)含有x –a的因式,則f(a)=0

反過來也成立,若f(a)=0,則x-a能整除f(x)。

4.在二次三項式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 則p=a+b,q=ab

在恒等式中,左右兩邊同類項的系數相等。這可以推廣到任意多項式。

二、例題

例1己知 x2-5x+m能被x-2整除,求m 的值。 x-3

解法一:列豎式做除法 (如右) x-2 x2-5x+m

由 余式m-6=0 得m=6 x2-2x

解法二:∵ x2-5x+m 含有x-2 的因式 -3x+m

∴ 以x=2代入 x2-5x+m 得 -3x+6

22-5×2 +m=0 得m=6 m-6

解法三:設x2-5x+m 除以x-2 的商是x+a (a為待定系數)

那么 x2-5x+m=(x+a)(x-2)= x2+(a-2)x-2a

根據左右兩邊同類項的系數相等,得

8146a0594383f22ac198a0afebc264ed.png 解得669c74b58e15d8fe9cc308649a82f812.png (本題解法叫待定系數法)

例2己知:x4-5x3+11x2+mx+n能被x2-2x+1整除

求:m、n 的值及商式

解:∵被除式=除式×商式 (整除時余式為0)

∴商式可設為x2+ax+b

得x4-5x3+11x2+mx+n=(x2-2x+1)(x2+ax+b)

=x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b

根據恒等式中,左右兩邊同類項的系數相等,得

9bd61b64e51f056cccaf302142b977fd.png 解得634bbcae259a46c7b96669f52a901f25.png

∴m=-11, n=4, 商式是x2-3x+4

例3m取什么值時,x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?

解:當 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除時,它含有x+y+z 因式

令x+y+z=0,得x=-(y+z),代入原式其值必為0

即[-(y+z)]3+y3+z3-myz(y+z)=0

把左邊因式分解,得 -yz(y+z)(m+3)=0,

∵yz≠0, ∴當y+z=0或m+3=0時等式成立

∴當x,y(或y,z或x,z)互為相反數時,m可取任何值 ,

當m=-3時,x,y,z不論取什么值,原式都能被x+y+z整除。

例4 分解因式x3-x+6

分析:為獲得一次因式,可用x=±1,±2,±3,±6(常數項6的約數)代入原式求值,只有x=-2時值為0,可知有因式x+2,(以下可仿例1)

解:x3-x+6=(x+2)(x2-2x+3)

三、練習

1.若x3+2x2+mx+10=x3+nx2-4x+10, 則m=___, n=___

2.x3-4x2+3x+32除以x+2的余式是___,

x4-x2+1除以x2-x-2的余式是___

3.己知x3+mx+4能被x+1整除,求m

4.己知x4+ax3+bx-16含有兩個因式x-1和x –2,求a和b的值

5.己知13x3+mx2+11x+n能被13x2-6x+5整除,求m、n及商式

6.己知ab≠0,m取什么值時,a3-6a2b+mab2-8b3有因式a-2b.

7.分解因式:①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3

8.選擇題

① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的結果是( )

(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)

(c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)

②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數),對于下列各組的p,q值能使n的值為最大的是( )

(A)p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.

練習題參考答案

1. –4,2

2. 2;4x+5 3. 3

4. c113773824745287e90e6dfffe97ae16.png 5.25e03f073372e5942b75933502ca1c74.png 商式x-1

6. 12 7.①(x-1)(x-2)(x+3), ②(x-2)2(x+1) , ③(x+3)(x2-3x-1)

8. ① (A) ② (D)

例2 化簡:

分析 兩個題分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,這樣計算化簡較繁.我們可以先將分母因式分解后,再化簡.

解法1 配方法.

配方法是要設法找到兩個正數x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,則

解法2 待定系數法.

例4 化簡:

(2)這是多重復合二次根式,可從里往外逐步化簡.

分析 被開方數中含有三個不同的根式,且系數都是2,可以看成

解 設

兩邊平方得

②×③×④得

(xyz)2=5×7×35=352.

因為x,y,z均非負,所以xyz≥0,所以

xyz=35.⑤

⑤÷②,有z=7.同理有x=5,y=1.所求x,y,z顯然滿足①,所以

解 設原式=x,則

解法1 利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)來解.

將方程左端因式分解有

(x-4)(x2+4x+10)=0.

因為

x2+4x+10=(x+2)2+6>0,

所以x-4=0,x=4.所以原式=4.

解法2

說明 解法2看似簡單,但對于三次根號下的拼湊是很難的,因此本題解法1是一般常用的解法.

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