聯立方程組模型

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聯立方程組模型

引子:

是先有雞,還是先有蛋 ?

貨幣供應量及通貨膨脹的關系倍受經濟學家的關注。貨幣數量論認為:貨幣量增長是通貨膨脹的主要原因。正如經濟學家米爾頓.弗里德曼曾指出的:“通貨膨脹永遠而且處處是一種貨幣現象。” (曼昆著《經濟學原理》246頁)

也有經濟學家認為:“人們持有貨幣是因為貨幣是交換媒介。與債券或股票這類其他資產不同,人們可以用貨幣購買他們購物單上的物品與勞務。他們為這種目的選擇持有多少貨幣取決于這些物品與勞務的價格。價格越高,正常交易要求的貨幣越多。”“這就是說,物價水平上升(貨幣價值下降)增加了貨幣需求量。”(曼昆著《經濟學原理》245頁)

對貨幣供應量、經濟增長及通貨膨脹的關系也一直是各國政府和貨幣當局爭論的問題。在出現通貨膨脹時,政府強調是貨幣當局的貨幣供應量過多,使得總需求中的投資和消費過快增長,導致了通貨膨脹;貨幣當局又爭辯,是由于經濟增長過快,投資和消費對貨幣需求增長,導致物價水平上升,而迫使貨幣供應量增加。究竟是物價上升導致貨幣供應量增加,還是貨幣供應量增加導致物價上漲?為了驗證這種類似“是先有雞,還是先有蛋?”的爭論,在建立模型時,有人主張建立分析物價水平和經濟增長影響貨幣供應量的方程;也有人主張建立分析貨幣供應量影響物價水平和經濟增長的方程。這兩個方程是什么關系?當經濟增長、物價水平和貨幣供應量的樣本數據都是既定的,兩個方程可以同時估計嗎?

訖今為止我們討論的都是單一方程計量經濟模型,但有的經濟問題的計量需要運用聯立方程模型。本章介紹聯立方程模型的基礎知識,包括聯立方程模型的概念和類型、聯立方程模型的識別問題及識別的方法、聯立方程的估計方法等。

第一節 聯立方程模型及其偏倚

一、聯立方程模型的性質

單一方程模型中只有一個被解釋變量,而有一個或多個解釋變量,這類模型最主要的特征是被解釋變量與解釋變量間為一種單向的因果關系,通常解釋變量是變化的原因,被解釋變量是變化的結果。單一方程模型中所研究的對象是單一的變量。但是,經濟現象是錯綜復雜的,許多情況下所研究的問題不只是一個單一的變量,而是一個由多變量構成的經濟系統。在經濟系統中多個經濟變量之間可能存在著雙向的或多向的因果關系。例如,對某種商品的需求量Q的研究中,商品需求量Q受到商品價格P的影響,同時商品價格P又受到商品需求量Q的影響,這時需求量Q與價格P是相互影響,存在著雙向的因果關系。在這種情況下,只用單一方程已經不能正確反映經濟系統中諸多因素間的復雜關系了,而需要采用能夠表現互為因果關系的聯立方程模型。

所謂聯立方程模型是指用若干個相互關聯的單一方程,同時去表示一個經濟系統中經濟變量相互聯立依存性的模型,即用一個聯立方程組去表現多個變量間互為因果的聯立關系。聯立方程組中每一個單一方程中包含了一個或多個相互關聯的內生變量,每一個方程的被解釋變量都是內生變量,解釋變量則可以是內生變量,也可以是外生變量。聯立方程模型也稱為聯立方程組模型。

例如,商品需求與價格的模型,根據經濟理論,商品的需求量Q受商品的價格P和消費者的收入X等因素的影響,可建立需求模型:

(11.1)

同時,該商品價格P也受商品需求量Q和其他代用商品價格的影響,又可建立價格模型:

(11.2)

(11.1)和(11.2)式中的商品需求Q與商品價格P,事實上存在雙向因果關系,不能只用單一方程模型去描述這種聯立依存性,而需要把兩個單一方程組成一個聯立方程組,同時去研究商品的需求量Q和商品價格P的數量關系和變化規律,從而形成如下聯立方程模型:

(11.3)

又如,凱恩斯宏觀經濟模型,設變量有國民總收入Y、消費C、投資I、政府支出G。收入Y既是決定消費C和投資I的解釋變量,同時又被消費C、投資I和政府支出G所決定。用聯立方程組模型可清晰地描述它們之間的關系:

(11.4)

上式中表示收入的滯后一期數值,稱為滯后內生變量。

與單一方程模型相比,聯立方程模型有以下特點:

(1)聯立方程組模型是由若干個單一方程組成的。模型中不止一個被解釋變量,通常建立M個方程就應有M個被解釋變量

(2)聯立方程組模型里既有非確定性方程(即隨機方程)又有確定性方程,但必須含有隨機方程。

(3)被解釋變量和解釋變量之間不僅是單向的因果關系,而可能是互為因果,有的變量在某個方程為解釋變量,但同時在另一個方程中可能為被解釋變量。因此解釋變量有可能是隨機的不可控變量。

(4)解釋變量可能與隨機擾動項相關,違反OLS基本假定。如將(11.1)式代入(11.2)式

(11.5)

考慮(11.2)與(11.5)式,顯然不僅與相關,而且與相關。

二、聯立方程模型中變量的類型

在單一方程模型中,被解釋變量與解釋變量的區分十分清晰,解釋變量是變動的原因,被解釋變量是變動的結果。在聯立方程模型中,多個變量可能互為因果,同一變量可能作為被解釋變量,同時又可能作為解釋變量,顯然將變量只是區分為解釋變量與被解釋變量的意義已經不大。而需要將變量區分為內生變量和外生變量。

在聯立方程模型中,從變量的性質看,一些變量是由模型體現的經濟系統本身所決定的,稱為內生變量,內生變量的取值是模型求解的結果,由于受模型中隨機擾動項的影響,內生變量是隨機變量。例如(11.3)式模型中的需求量Q和商品價格P,它們的取值由模型所決定。同樣,(11.4)式模型中的收入Y、消費C和投資I也都是其取值由模型決定的內生變量。另一些變量是在模型體現的經濟系統之外給定的,在模型中是非隨機的,稱為外生變量。例如(11.3)式模型中的消費者收入X和其他代用商品價格,它們的取值是在模型之外因素決定的。同理,(11.4)式模型中的政府支出G和收入的滯后值也都是由模型之外因素決定的外生變量。應當注意,一個變量在模型中是內生變量還是外生變量,是由經濟理論和經濟意義決定的,而不是從數學形式決定的。區分內生變量和外生變量對聯立方程模型的估計和應用有重要意義。為了求解模型中的內生變量,一般說來聯立方程中方程的個數應等于內生變量的個數。如果聯立方程模型中內生變量的個數恰好等于方程組中方程的個數,則稱該方程組為完備的。

在聯立方程模型中,外生變量數值的變化能夠影響內生變量的變化,而內生變量卻不能反過來影響外生變量。對模型體系來講,外生變量是由模型體系以外的因素所決定的,外生變量是可控制的變量,它與隨機誤差項不相關,所以是非隨機變量。

在聯立方程模型中,有一些變量本來是內生變量,但模型中可能出現了這些變量過去時期的滯后值或更大范圍的數值。例如在(11.4)中,收入Y是內生變量,而模型中收入滯后值卻不能由模型決定。像這樣代表內生變量滯后值的變量稱為滯后內生變量。在模型中滯后內生變量或更大范圍的內生變量的作用視同于外生變量,并與外生變量一起稱為前定變量。在單一方程模型中,前定變量一般作為解釋變量,內生變量一般作為被解釋變量;而在聯立方程模型中,內生變量既可作為被解釋變量,又可作為解釋變量。

三、聯立方程模型的偏倚性

在聯立方程模型中,一個方程中的解釋變量,在另一個方程中可以是被解釋變量。因此聯立方程模型很可能會違反古典假定。下面以(11.4)的宏觀經濟模型為例,來說明聯立方程組模型出現的問題,設宏觀經濟模型為

(11.6)

由第1個方程和第2個方程可以看出,因為變量與變量有聯系,并且變量與隨機誤差項相關,所以變量相關,而變量在第2個方程作解釋變量,這就違背了解釋變量與隨機誤差項不相關的假定。將第2個方程和第3個方程代入第1個方程,得

(11.7)

整理后得到如下結果

(11.8)

由上式看出,變量相關,但在第3個方程里作為解釋變量說明對投資的影響,這又違背了解釋變量與隨機誤差項不相關的假定。當用普通最小二乘法去估計每一個方程時,如果解釋變量與隨機誤差項相關,則參數的估計將是有偏的和不一致的 (詳細證明見附錄11.1)。這種由于聯立方程模型中內生變量作為解釋變量與隨機誤差項相關,而引起的OLS估計的參數有偏且不一致,稱為聯立方程偏倚性。聯立方程偏倚性是聯立方程固有的,所以一般情況下OLS法不適合于估計聯立方程模型。

四、聯立方程模型的種類

為了方便模型的識別和估計,聯立方程模型以變量間的聯系形式分類,通常可分為結構型模型、簡化型模型和遞歸型模型。

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