九年級數學上冊 第二十四章 圓 專題31 圓與角平分線

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第二十四章 圓專題31 圓與角平分線武漢專版·九年級上冊一、圓與內角平分線 1.如圖,⊙O為△ABC的外接圓,弦CD平分∠ACB. (1)若AB為⊙O的直徑,求證:CA+CB= 2 CD;【解析】連接 AD,BD,過點 A 作 AM⊥CD 于點 M,過點 B 作 BN⊥CD 于點 N.∵CD 平分∠ ACB,∠ACB=90°,∴∠ACD=∠BCD=45°,AD=BD.∴CM+CN= 2(CA+CB).易證△ADM2 ≌△DBN(AAS),∴DN=AM=CM.∴CD=CN+DN=CN+CM= 2(CA+CB),∴CA+CB= 2CD.2(2)若∠ACB=120°,其他條件不變,求 CA+CB 的值; CD【解析】連接 AD,BD,過點 B 作 BE∥CD 交 AC 的延長線于點 E.∴∠E=∠ACD=60°, ∠ECB=60°.∴BE=EC=CB.∵∠ADB=∠ECB=60°,AD=BD,∴△ADB 為等邊三角形.∴ AD=DB=AB.∴△ABE≌△DBC(SAS).∴CD=AE=AC+CE=CA+CB,∴CA+CB=1.CD(3)若AB為⊙O的直徑,連接AD,BD,若CD=3 2,求四邊形ACBD的面積.【解析】∵弦 CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,AD=BD.∴∠DAB=∠DBA=45°.∴AD=2AB.∵AB2=AC2+BC2,∴S 2四邊形 ACBD=12AC·BC+12AD2=14(AC+BC)2,由(1)得AC+BC=2CD=6,∴S =9. 四邊形ACBD二、圓與外角平分線2.如圖,⊙O為△ABC的外接圓,弦CP平分△ABC的外角∠ACQ,∠ACB=90°.(1)求證:︵ PA=︵ PB;(2)求證:AC-BC= 2 PC.【解析】(1)連接 PA,PB.∵CP 平分∠ACQ,∠ACB=90°,∴∠ACP=∠PCQ=45°.∵∠ ︵︵PCQ=∠PAB,∠ACP=∠ABP,∴∠PAB=∠ABP=45°.∴PA=PB.(2)過點 P 作 PD⊥PC 交 AC 于點 D,則△PDC 為等腰直角三角形.∴DC= 2PC.∵P︵A=P︵B, ∴PA=PB.∵∠PDC=45°,∴∠PDA=135°.∵∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°,∴∠PDA=∠ PCB.∵∠PAD=∠PBC,∴△PDA≌△PCB,∴AD=BC.∴AC-BC=AC-AD=DC= 2PC.

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