數學爆強公式集中營秒殺填空選擇!

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1■,適用條件:[直線過焦點],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A為直線與焦點所在軸夾角,是銳角 。x為分離比 ,必須大于1。 注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上), 用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上),右邊為(x+1)/(x-1),其他不變。

2■,函數的周期性問題 (記憶三個 ):1、若f(x)=-f(x+k) ,則T=2k ; 2、若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k ;3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k) ,則 T=6k 。 注意點:a.周期函數,周期必無限 b.周期函數未必存在最小周期 ,如:常數函數 。 c.周期函數加周期函數未必是周期函數,如:y=sinx y=sin派x 相加不是周期函數。

3■,關于對稱問題●(無數人搞不懂的問題)● 總結如下:1,若在R上(下同)滿足:f(a+x)=f(b-x)恒成立, 對稱軸為x=(a+b)/2 ;2、函數y=f(a+x) 與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱; 3、若f(a+x)+f(a-x)=2b ,則f(x)圖像關于(a,b)中心對稱

4■,函數奇偶性 1、對于屬于R上的奇函數有f(0)=0 ;2、對于含參函數,奇函數沒有偶次方項,偶函數沒有奇次方項 3,奇偶性作用不大,一般用于選擇填空

5■,數列 爆強定律:1,等差數列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標) ;2等差數列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 3,等比數列中,上述2中 各項在公比不為負一時成等比,在q=-1時,未必成立 4,等比數列爆強公式:S(n+m)=S(m)+q^m S(n) 可以迅速求q

6■, 數列的終極利器,特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介紹公式:對于an+1=pan+q (n+1 為下角標,n為下角標),a1已知,那么特征根x=q/(1-p) ,則數列通項公式為an=(a1-x)p^(n-1)+x ,這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩,且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

7■,函數詳解補充:1、復合函數奇偶性:內偶則偶,內奇同外 2,復合函數單調性:同增異減 3,●重點知識●關于三次函數:恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心,求法為二階導后導數為0,根x即為中心橫坐標,縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外,必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8■,常用數列bn=n×(2^n) 求和Sn=(n-1)×(2^(n+1))+2 記憶方法:前面減去一個1,后面加一個,再整體加一個2

9■,適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式:k橢=-{(b^2) xo}/{(a^2)yo} k雙={(b^2) xo}/{(a^2)yo} k拋=p/yo 注:(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10■,強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技:已知直線L1:a1x+b1y+c1=0 直線L2:a2x+b2y+c2=0 若它們垂直:(充要條件)a1a2+b1b2=0 ;若它們平行:(充要條件)a1b2=a2b1 且a1c2 ≠a2c1 [這個條件為了防止兩直線重合) ●注:以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩,直接必殺!

11■,經典中的經典:相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消:對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] ◆◆ 注:隔項相加保留四項,即首兩項,尾兩項 。自己把式子寫在草稿紙上,那樣看起來會很清爽以及整潔!

12■,●爆強△面積公式:S=1/2∣mq-np∣ 其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)■注:這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題!

13■,●▲●你知道嗎?空間立體幾何中:■以下命題均錯■:1,空間中不同三點確定一個平面;2,垂直同一直線的兩直線平行 ;3,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 ;4,如果一條直線與平面內無數條直線垂直,則直線垂直平面 ;5,有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;6,有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐 注:對初中生不適用。

14■,一個小知識點:■■■所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15■,求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣ (n為正整數)的最小值。 答案為:當n為奇數,最小值為(n^2-1)/4,在x=(n+1)/2時取到;當n為偶數時,最小值為n^2/4,在x=n/2 或n/2 +1時取到。

16■,√〔(a^2+b^2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b) (a、b為正數,是統一定義域)

17■,橢圓中焦點三角形面積公式:S=b^2tan(A/2)在雙曲線中:S=b^2an(A/ 2) 說明:適用于焦點在x軸,且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18■, ■■■爆強定理:空間向量三公式解決所有題目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模] |一:A為線線夾角,二:A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)三:A為面面夾角 ■注:以上角范圍均為[0,派/2]。

19■,. ■■■爆強公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6(n)(n+1)(2n+1) ; 1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4(n^2)(n+1)^2

20■,爆強■■■切線方程記憶方法:寫成對稱形式,換一個x,換一個y。 舉例說明:對于y^2=2px 可以寫成y×y=px+px 再把(xo,yo)帶入其中一個得:y×yo=pxo+px ★★

21■, ■■■爆強定理:(a+b+c)^n的展開式[合并之后]的項數為:Cn+2 2 ,n+2在下,2在上

22■,[轉化思想] ■■■切線長l=√(d^2-r^2) d表示圓外一點到圓心得距離 , r為圓半徑,而d最小為圓心到直線的距離。

23■,對于y^2=2px,過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。 爆強定理的證明:對于y^2=2px,設過焦點的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/〔(sinA)^2〕,所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)^2],所以求和再據三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點,CD過焦點,且AB垂直于CD)

24■,關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強●■●:∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25■,關于解決證明含ln 的不等式的一種思路:爆強■■■:舉例說明:證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1) 把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn。 解:令an=1/n , 令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)-lnn ,那么只需證an >bn即可,根據定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。 ■注:僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣,就是把左邊、右邊看成是數列求和,證面積大小即可。說明:前提是含ln 。

26■,★★★爆強簡潔公式:向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。記憶方法:在哪投影除以哪個的模

27■, 說明一個易錯點■■■:若f(x+a)[a任意]為奇函數,那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔 等式右邊不是-f(-x-a)〕 ,同理如果f(x+a)為偶函數,可得f(x+a)=f(-x+a)牢記!

28■,離心率爆強公式:■■■ e=sinA/(sinM+sinN) 注:P為橢圓上一點, 其中A為角 F1PF2,兩腰角為M,N

29■,橢圓的參數方程也是一個很好的東西,它可以解決一些最值問題。比如x^2/4+y^2=1 求z=x+y的最值。 解:令x=2cosa y=sina 再利用三角有界即可。比你去▲=0不知道快多少倍!

30■, [僅供有能力的童鞋參考]]爆強公式:和差化積  sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]  cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] ■積化和差  sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2  cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2  sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2  cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31■, ■■爆強定理:直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。

32■, ■■三角形垂心爆強定理:1,向量OH=向量OA+向量OB+向量OC (O為三角形外心,H為垂心) 2,若三角形的三個頂點都在函數y=1/x 的圖象上,則它的垂心也在這個函數圖象上。

33■, 維維安尼定理●(不是很重要(僅供娛樂)),--正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值,這定值等于該三角形的高。

34■,■■爆強思路:如果出現兩根之積x1x2=m,兩根之和x1+x2=n,我們應當形成一種思路,那就是返回去構造一個二次函數,再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。●

35■,■■■常用結論:過(2p,0)的直線交拋物線y^2=2px 于A、B兩點。O為原點,連接AO.BO。必有角AOB=90度

36■, ■■■爆強公式:ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明:ln(1/(2^2)+1)+ln(1/(3^2)+1)+…+ln(1/(n^2)+1)<1 (n≥ 2) 證明如下:令x=1/(n^2),根據ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得:左和<1-1/n<1證畢!

37■, ■■函數y=(sinx)/x是偶函數。在(0,派)上它單調遞減,(-派,0)上單調遞增。利用上述性質可以比較大小。

38■,■■■函數y=(lnx)/x在(0,e)上單調遞增,在(e,+無窮)上單調遞減。 另外y=x^(1/x)與該函數的單調性一致。

39,■■■■■幾個數學易錯點:1,f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件;2,在研究函數奇偶性時,忽略最開始的也是最重要的一步:考慮定義域是否關于原點對稱!;3,不等式的運用過程中,千萬要考慮\號是否取到!4,研究數列問題不考慮分項,就是說有時第一項并不符合通項公式,所以應當極度注意:數列問題一定要考慮是否需要分項!

40■,■■■■■提高計算能力五步曲:1,扔掉計算器;2,仔細審題(提倡看題慢,解題快),要知道沒有看清楚題目,你算多少都沒用!;3,熟記常用數據,掌握一些速算技巧;4,加強心算,估算能力;5,[檢驗]!。

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