九年級數學上冊 第二十四章 圓 專題29 圓與全等三角形

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第二十四章 圓專題29 圓與全等三角形武漢專版·九年級上冊一、利用等弦構造全等三角形1.如圖,PA,PB是⊙O的兩條弦,C是劣弧︵ AB的中點,弦CD⊥PA于點E,求證:AE=PE+PB.︵︵ 【解析】在 AE 上截取 AF=BP,連接 CA,CF,CB,CP.∵AC=BC,∴AC=BC.∴△CAF≌ △CBP,∴CF=CP.∵弦 CD⊥PA 于點 E,∴EF=EP.∴AE=AF+EF=PB+PE.2.如圖,AE是△ABC的外接圓⊙O的直徑,AD是△ABC的高,EF⊥BC于F,求證:BF=CD.【解析】如圖,過O作OH⊥BC于H,則CH=BH.過O作OM⊥AD于M,直線OM交EF的 延長線于N.∵AD⊥BC,EF⊥BC,∴AD∥EF.又∵OM⊥AD,∴∠OMA=∠ONE=90°, ∴△OMA≌△ONE,∴OM=ON.∵AD⊥BC,OH⊥BC,OM⊥AD,∴矩形OHDM中,OM =DH.同理ON=FH,∴DH=FH,∴CH-DH=BH-FH.即BF=CD.二、利用等半徑構造全等三角形 3.如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,AE⊥CD于點E,BF⊥CD于點F. (1)求證:CE=DF; (2)若AB=10,CD=8,求BF-AE的值.【解析】(1)取 EF 的中點 H,連接 EO 并延長交 BF 于點 G,連接 OH.∵AE⊥CD,BF⊥CD, ∴AE∥BF,∴可證△AOE≌△BOG,∴OE=OG.∴OH 為△EFG 的中位線.∴OH∥FG.∴OH⊥CD, ∴CH=DH.∴CH-EH=HD-HF,即 CE=DF.(2)連接 OD.∵△AOE≌△BOG,∴AE=BG.∴BF-AE=BF-BG=FG=2OH.由(1)得 CH=DH, ∴DH=1CD=4.∵AB=10,∴OD=5,∴OH=3.∴BF-AE=6.24.如圖,⊙O的直徑AB=12,E,F為AB的三等分點,M,N為弧AB上兩點,∠MEB=∠NFB=60°,求EM +FN的值.【解析】過點 O 作 OC⊥EM,交 EM 于點 C,交 NF 的延長線于點 D,連接 OM,ON.∵OA= OB,AE=BF,∴OE=OF.∵AB=12,∴OE=OF=2,OM=6.∵∠MEB=∠NFB=60°,∴CO=DO = 3,EC=DF=1.易證 Rt△COM≌Rt△DON(HL),∴CM=DN.∴EM+FN=CM+EC+DN-DF=2CM. ∵CM2=OM2-OC2=36-3=33,∴CM= 33.∴EM+FN=2CM=2 33.

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