時間序列計量經濟模型

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時間序列計量經濟模型

引子:

是真回歸還是偽回歸?

在經典的回歸分析中,通常的做法是:首先采用普通最小二乘法(OLS)對回歸模型進行估計,然后根據可決系數R2或F檢驗統計量值的大小來判定變量之間的相依程度,根據回歸系數估計值的t統計量對系數的顯著性進行判斷,最后在回歸系數顯著不為零的基礎上對回歸系數估計值給予經濟解釋。

為了分析美國的個人可支配總收入(I)與個人消費總支出(E)的關系,遵照以上作法,收集了1970年至1991年的季度時間序列數據,用OLS法作E關于I的線性回歸,得到如下結果:

t=(-7.4809) (119.8711)

從回歸結果來看,非常高,個人可支配總收入I的回歸系數t統計量也非常大,邊際消費傾向符合經濟假設。

(資料來源:古扎拉蒂《計量經濟學》下冊,第719頁,中國人民大學出版社)

憑借經驗判斷,這個模型的設定是好的,所用數據也是可靠的,樣本容量很充分,這應是滿意的結果。準備將這個計量結果用于經濟結構分析和經濟預測。

可是有人提出,這個回歸結果可能是虛假的!可能只不過是一種“偽回歸”!如果真是這樣,將所估計的模型直接用于經濟結構分析和預測,“就要千萬小心!“。

這里用時間序列數據進行的回歸,究竟是真回歸還是偽回歸呢?為什么模型、樣本、數據、檢驗結果都很理想,卻可能得到“偽回歸”的結果呢?

時間序列數據被廣泛地運用于計量經濟研究。經典時間序列分析和回歸分析有許多假定前提,如序列的平穩性、正態性等,,如果直接將經濟變量的時間序列數據用于建模分析,實際上隱含了這些假定。在這些假定成立的條件下,進行的t、F、等檢驗才具有較高的可靠度。但是,越來越多的經驗證據表明,經濟分析中所涉及的大多數時間序列是非平穩的。那末,如果直接將非平穩時間序列當作平穩時間序列來進行分析,會造成什么不良后果?如何判斷一個時間序列是否為平穩序列?當我們在計量經濟分析中涉及到非平穩時間序列時,應作如何處理呢?這就是本章要討論的基本內容。

第一節 時間序列計量經濟分析的基本概念

一、偽回歸問題

經典計量經濟學建模過程中,通常假定經濟時間序列是平穩的,而且主要以某種經濟理論或對某種經濟行為的認識來確立計量經濟模型的理論關系形式,借此形式進行數據收集、參數估計以及模型檢驗,這是20世紀70年代以前計量經濟學的主導方法。然而,這種方法所構建的計量經濟模型在20世紀70年代出現石油危機后引起的經濟動蕩面前卻失靈了。這里的失靈不是指這些模型沒能預見石油危機的出現,而是指這些模型無法預計石油危機的振蕩對許多基本經濟變量的動態影響。因此引起了計量經濟學界對經典計量經濟學方法論的反思,并將研究的注意力轉向宏觀經濟變量非平穩性對建模的影響。人們發現,由于經濟分析中所涉及的經濟變量數據基本上是時間序列數據,而大多數經濟時間序列是非平穩的,如果直接將非平穩時間序列當作平穩時間序列進行回歸分析,則可能會帶來不良后果,如偽回歸問題。

所謂“偽回歸”,是指變量間本來不存在有意義的關系,但回歸結果卻得出存在有意義關系的錯誤結論。經濟學家早就發現經濟變量之間可能會存在偽回歸現象,但在什么條件下會產生偽回歸現象,長期以來無統一認識。直到20世紀70年代,Grange、Newbold研究發現,造成“偽回歸”的根本原因在于時間序列變量的非平穩性。他們用Monte Carlo模擬方法研究表明,如果用傳統回歸分析方法對彼此不相關聯的非平穩變量進行回歸,t檢驗值和F檢驗值往往會傾向于顯著,從而得出“變量相依”的“偽回歸結果”。

因此,在利用回歸分析方法討論經濟變量有意義的經濟關系之前,必須對經濟變量時間序列的平穩性與非平穩性進行判斷。如果經濟變量時間序列是非平穩的,則需要尋找新的處理方法。20世紀80年代發展起來的協整理論就是處理非平穩經濟變量關系的行之有效的方法。該理論自從誕生以來,受到眾多經濟學家的重視,并廣泛運用于對實際經濟問題的研究。

二、隨機過程的概念

在概率論和數理統計中,隨機變量是分析隨機現象的有力工具。對于一些簡單的隨機現象,一個隨機變量就足夠了,如候車人數,某單位一天的總用水量等。對于一些復雜的隨機現象,用一個隨機變量來描述就不夠了,而需要用若干個隨機變量來加以刻畫。例如平面上的隨機點,某企業一天的工作情況(產量、次品率、耗電量、出勤人數等)都需要用多個隨機變量來刻畫。

還有些隨機現象,要認識它必須研究其發展變化過程,這一類隨機現象不能只用一個或多個隨機變量來描述,而必須考察其動態變化過程,隨機現象的這種動態變化過程就是隨機過程。例如,某一天電話的呼叫次數ξ,它是一個隨機變量。若考察它隨時間t變動的情況,則需要考察依賴于時間t的隨機變量ξt,{ξt}就是一個隨機過程。又例如,某國某年的GNP總量,是一個隨機變量,但若考查它隨時間變化的情形,則{GNPt}就是一個隨機過程。

一般地,若對于每一特定的t(t∈T),Yt為一隨機變量,則稱這一族隨機變量{Yt}為一個隨機過程。若T為一連續區間,則{Yt}為連續型隨機過程。若T為離散集合,如T=(0,1,2,……)或T=(……,-2,-1,0,1,2,……),則{Yt}為離散型隨機過程。隨機過程的統計特征通常用其分布及數字特征來刻畫。

離散型時間指標集的隨機過程通常稱為隨機型時間序列,簡稱為時間序列。經濟分析中常用的時間序列數據都是經濟變量隨機序列的一個實現。

三、時間序列的平穩性

所謂時間序列的平穩性,是指時間序列的統計規律不會隨著時間的推移而發生變化。也就是說,生成變量時間序列數據的隨機過程的特征不隨時間變化而變化。以平穩時間序列數據作為計量經濟模型變量的觀測值時,其估計方法、檢驗過程才可能采用前面幾章所介紹的方法。

直觀上,一個平穩的時間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動的曲線。從理論上,有兩種意義的平穩性,一是嚴格平穩,另一是弱平穩。嚴格平穩是指隨機過程{Yt}的聯合分布函數與時間的位移無關。設{Yt}為一隨機過程,n, h為任意實數,若聯合分布函數滿足:

(10.1)

則稱{Yt}為嚴格平穩過程,它的分布結構不隨時間推移而變化。

弱平穩是指隨機過程{}的期望、方差和協方差不隨時間推移而變化。若{Yt}滿足:

(10.2)

則稱{Yt}為弱平穩隨機過程。在以后的討論中,關于平穩性的概念通常是指弱平穩。

所謂時間序列的非平穩性,是指時間序列的統計規律隨著時間的位移而發生變化,即生成變量時間序列數據的隨機過程的特征隨時間而變化。當生成序列的隨機過程是非平穩的時候,其均值函數,方差函數不再是常數,自協方差函數也不僅僅是時間間隔t—s的函數,前面所介紹的高斯一馬爾科夫定理不再成立,一個變量對其他變量的回歸可能會導致偽回歸結果,前面所介紹的計量經濟技術也將遇到困難。

在經濟領域中,我們所得到的許多時間序列觀測值大都不是由平穩過程產生的。例如,國內生產總值GDP大多數情況下隨時間的位移而持續增長;貨幣供給量M2在正常狀態下會隨時間的位移而擴大。也就是說,2000年GDP或M2觀測值的隨機性質與1996年的GDP和M2的隨機性質有相當的區別。

由于在實際中遇到的時間序列數據很可能是非平穩序列,而平穩性在計量經濟建模中又具有重要地位,因此有必要對觀測值的時間序列數據進行平穩性檢驗。

第二節 時間序列平穩性的單位根檢驗

時間序列平穩性的檢驗方法主要有傳統方法和現代方法,前者以自相關函數檢驗為代表,后者以單位根檢驗為代表。本書只介紹目前最常用的單位根檢驗法。

一、單位根過程

一般來講,由于經濟系統慣性的作用,經濟時間序列往往存在著前后依存關系,這種前后依存關系是時間序列預測的基礎。假定{Yt}為一時間序列,最簡單的一種前后依存關系就是變量當前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關,而與其前一時期以前的取值狀況無直接關系,也就是說Yt主要與Yt-1相關,與Yt-2 ,Yt-3,……無關。可用如下的一階自回歸模型來描述這種關系:

Yt=Yt-1+εt (10.3)

常記作AR(1)。

如果Yt不僅與前一期Yt-1有關,而且與Yt-2相關,顯然,在這種情況下用AR(1)來刻畫Yt的動態依存關系就不恰當了,而需要在模型中引入Yt-2。一般的,如果Yt 與過去時期直到Yt-p 的取值相關,則{Yt}的動態關系就需要使用包含Yt-1 ,……Yt-p在內的p階自回歸模型來加以刻畫。P階自回歸模型的一般形式為:

Yt=1 Yt-1+2 Yt-2+…+p Yt-p+εt (10.4)

為了說明單位根過程的概念,這里側重以AR(1)模型Yt=Yt-1+εt進行分析。根據平穩時間序列分析的理論可知,當時,該序列{Yt}是平穩的,此模型是經典的Box-Jenkins時間序列AR(1)模型。但是,如果,則序列的生成過程變為隨機游走過程(Random Walk Process):

Yt=Yt-1+εt (10.5)

其中,獨立同分布且均值為零、方差恒定為。隨機游走過程的方差為:

時,序列的方差趨于無窮大,這說明隨機游走過程是非平穩的。

如果一個序列是隨機游動過程,則稱這個序列是一個單位根過程

。較隨機游動更一般的,是一般的單位根過程。若隨機過程遵從:

(10.6)

其中,為一平穩過程,且。則稱序列為(不帶漂移的)單位根過程。帶漂移和時間趨勢的單位根過程服從如下模型:

(10.7)

顯然,隨機游動過程是一般單位根過程的一個特例。

從單位根過程的定義可以看出,含一個單位根的過程,其一階差分:

是一平穩過程,像這種經過一次差分后變為平穩的序列稱為一階單整序列(Integrated Process),記為~I(1)。有時,一個序列經一次差分后可能還是非平穩的,如果序列經過二階差分后才變成平穩過程,則稱序列為二階單整序列,記為~I(2)。一般地,如果序列經過d次差分后平穩,而d-1次差分卻不平穩,那么稱為d階單整序列,記為~I(d),d稱為整形階數。特別地,若序列本身是平穩的,則稱序列為零階單整序列,記為~I(0)。

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